TRPGが好きっ!.com > 真・女神転生TRPG > 真・女神転生TRPG 覚醒篇 > 威力ダイスの期待値
威力ダイス期待値算出
威力ダイスの期待値は、サイコロ1個あたり4.2になります。なので、サイコロ2個なら8.4、サイコロ3個なら12.6、……、となります。
以下で証明をしていますが、このページはブラウザによっては正しく表示されませんので、あらかじめご了承ください。
「○/●」は、●分の○(つまり○を●で割った値)とみなしてください。HTMLだけで分数を表現するのは苦しいのです……
証明
まず、6面体サイコロで、振り足しが発生しない場合(出目1~5)の期待値は3である。
そして、1/6の確率で振り足しが発生し、振り足し分の期待値は6+サイコロ1個分である。
これが永遠に繰り返される。そこで、威力ダイスの期待値をAとすると、
A=3×(5/6)+(6+3)×(5/62)+(6×2+3)×(5/63)+…+(6×(n-1)+3)×(5/6n)+…
=(15/6)+(45/62)+(75/63)+…+(15×(2n-1)/6n)+…
=15×[(1/6)+(3/62)+(5/63)+…+((2n-1)/6n)+…]
A=15×Bとすると、
B=(1/6)+(3/62)+(5/63)+…+((2n-1)/6n)+…
B/6=(1/62)+(3/63)+(5/64)+…+((2n-1)/6n+1)+…
lim(n/an)=0(limはnを∞に近づける場合を想定、a>1)となることより、
B-B/6=(1/6)+(2/62)+(2/63)+(2/64)+…+(2/6n)+…
5/6×B=(1/6)+(1/3)×Σ(1/6n)
(Σはn=1~∞の和、以後も同様)
B=(1/5)+(2/5)×Σ(1/6n)となるので、
A=15×B=3+6×Σ(1/6n)
A=3+6×Cとすると、
C=Σ(1/6n)
C=(1/6)+(1/62)+(1/63)+(1/64)+…+(1/6n)+…
C/6=(1/62)+(1/63)+(1/64)+…+(1/6n+1)+…
lim(1/an)=0(limはnを∞に近づける場合を想定、a>1)となることより、
C-C/6=(1/6)+0=(1/6)
5/6×C=(1/6)より、
C=1/5=0.2
よって、A=3+6×C=3+6×0.2=4.2
[最終更新日 2015.7.15]