威力ダイスの期待値 < 真・女神転生

威力ダイスの期待値は、サイコロ１個あたり４．２になります。なので、サイコロ２個なら８．４、サイコロ３個なら１２．６、……、となります。
以下で証明をしていますが、このページはブラウザによっては正しく表示されませんので、あらかじめご了承ください。

「○／●」は、●分の○(つまり○を●で割った値)とみなしてください。ＨＴＭＬだけで分数を表現するのは苦しいのです……

証明

まず、６面体サイコロで、振り足しが発生しない場合の期待値は３である。
そして、１／６の確率で振り足しが発生し、振り足し分の期待値は６＋サイコロ１個分である。
これが永遠に繰り返される。そこで、威力ダイスの期待値をＡとすると、

Ａ＝３×(５／６)＋(６＋３)×(５／６²)＋(６×２＋３)×(５／６³)＋…＋(６×(n-1)＋３)×(５／６ⁿ)＋…
＝(１５／６)＋(４５／６²)＋(７５／６³)＋…＋(１５×(2n-1)／６ⁿ)＋…
＝１５×［(１／６)＋(３／６²)＋(５／６³)＋…＋((2n-1)／６ⁿ)＋…］

Ｂ＝(１／６)＋(３／６²)＋(５／６³)＋…＋((2n-1)／６ⁿ)＋…

Ｂ／６＝(１／６²)＋(３／６³)＋(５／６⁴)＋…＋((2n-1)／６ⁿ⁺¹)＋…

lim(ｎ／ａⁿ)＝０(limはｎを∞に近づける場合を想定、ａ＞１)となることより、

Ｂ－Ｂ／６＝(１／６)＋(２／６²)＋(２／６³)＋(２／６⁴)＋…＋(２／６ⁿ)＋…

５／６×Ｂ＝(１／６)＋(１／３)×Σ(１／６ⁿ)
(Σはｎ＝１～∞の和、以後も同様)

Ｃ＝(１／６)＋(１／６²)＋(１／６³)＋(１／６⁴)＋…＋(１／６ⁿ)＋…

Ｃ／６＝(１／６²)＋(１／６³)＋(１／６⁴)＋…＋(１／６ⁿ⁺¹)＋…

lim(１／ａⁿ)＝０(limはｎを∞に近づける場合を想定、ａ＞１)となることより、

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