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威力ダイス期待値算出

　威力ダイスの期待値は、サイコロ１個あたり４．２になります。なので、サイコロ２個なら８．４、サイコロ３個なら１２．６、……、となります。
以下で証明をしていますが、このページはブラウザによっては正しく表示されませんので、あらかじめご了承ください。
　「○／●」は、●分の○(つまり○を●で割った値)とみなしてください。ＨＴＭＬだけで分数を表現するのは苦しいのです……

証明

　まず、６面体サイコロで、振り足しが発生しない場合(出目１～５)の期待値は３である。
　そして、１／６の確率で振り足しが発生し、振り足し分の期待値は６＋サイコロ１個分である。
　これが永遠に繰り返される。そこで、威力ダイスの期待値をＡとすると、

　Ａ＝３×(５／６)＋(６＋３)×(５／６2)＋(６×２＋３)×(５／６3)＋…＋(６×(n-1)＋３)×(５／６n)＋…
　＝(１５／６)＋(４５／６2)＋(７５／６3)＋…＋(１５×(2n-1)／６n)＋…
　＝１５×［(１／６)＋(３／６2)＋(５／６3)＋…＋((2n-1)／６n)＋…］

　Ａ＝１５×Ｂとすると、

　Ｂ＝(１／６)＋(３／６2)＋(５／６3)＋…＋((2n-1)／６n)＋…

　Ｂ／６＝(１／６2)＋(３／６3)＋(５／６4)＋…＋((2n-1)／６n+1)＋…

　lim(ｎ／ａn)＝０(limはｎを∞に近づける場合を想定、ａ＞１)となることより、

　Ｂ－Ｂ／６＝(１／６)＋(２／６2)＋(２／６3)＋(２／６4)＋…＋(２／６n)＋…

　５／６×Ｂ＝(１／６)＋(１／３)×Σ(１／６n)
　(Σはｎ＝１～∞の和、以後も同様)

　Ｂ＝(１／５)＋(２／５)×Σ(１／６n)となるので、

　Ａ＝１５×Ｂ＝３＋６×Σ(１／６n)

　Ａ＝３＋６×Ｃとすると、
　Ｃ＝Σ(１／６n)

　Ｃ＝(１／６)＋(１／６2)＋(１／６3)＋(１／６4)＋…＋(１／６n)＋…

　Ｃ／６＝(１／６2)＋(１／６3)＋(１／６4)＋…＋(１／６n+1)＋…

　lim(１／ａn)＝０(limはｎを∞に近づける場合を想定、ａ＞１)となることより、

　Ｃ－Ｃ／６＝(１／６)＋０＝(１／６)

　５／６×Ｃ＝(１／６)より、
　Ｃ＝１／５＝０．２

　よって、Ａ＝３＋６×Ｃ＝３＋６×０．２＝４．２

[最終更新日　2015.7.15]